4.1. POSTUPNOSTI

OBSAH

                Postupnosť, spôsoby jej určenia (vrátane rekurentného). Monotónnosť, ohraničenosť a graf postupnosti, limita postupnosti (intuitívne).

Aritmetická a geometrická postupnosť, diferencia a kvocient, súčet prvých n členov postupnosti. Aplikácia poznatkov o postupnostiach pri riešení slovných úloh.

POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI

·        Poznať pojem postupnosť, symboliku, určiť ľubovoľný člen postupnosti, konečná a nekonečná postupnosť, spôsoby určenia postupnosti (vzorcom pre n - tý člen i rekurentne), znázorniť graficky.

1)      Napíšte prvých päť členov postupnosti: a) , b) , c) .

2)      Napíšte prvé štyri členy danej postupnosti, ak n - tý člen má tvar :

        a)                 b)

3)      Napíšte nasledujúce dva členy danej postupnosti, nájdite vyjadrenie pre n – tý člen: a) 2,4,6,8,..    b)     c) 1,0,3,0,5...    d)  

       e) . Určite, ktorá postupnosť je konečná.

4)     Postupnosť je daná rekurentným vzťahom  a  a1 = 1, a2 = 5. Určite piaty člen postupnosti.

5)      Napíšte prvých šesť členov postupnosti  určenej vzorcom pre n- tý člen, graficky znázornite:

 a)  an = 3n - 4                                                                  b)  an = 3 . 2n    

 c)  an =                                                                     d)  an = (- 3) . 2n

6)      Napíšte prvých šesť členov postupnosti , ak je postupnosť daná rekurentne, graficky znázornite:

a)      a1 = 1,  an+1 = 2an + 1                                               

b)        a1 = 4,  an+1 = -an 

c)      a3 = 2, an+1 = an  + 3

d)      a5 = 5,  a6  = 8,  an+2 = an+1 + an

7)      Postupnosť vyjadrite rekurentne.

8)      Postupnosť je daná rekurentne vzťahom ,. Vyjadrite túto postupnosť  vzťahom pre n - tý člen.

·        Určiť monotónnosť a ohraničenosť daných postupností (využite grafy).

1)     Daná je postupnosť  . Zistite, či je monotónna a rozhodnite o jej ohraničenosti.

2)      Zistite, ktoré z nasledujúcich postupností sú rastúce a ktoré klesajúce:

 a)                                                        b)

 c)                                                       d)

3)      Určite prvých šesť členov postupnosti. Zistite, ktoré z nasledujúcich postupností sú ohraničené zhora, ktoré sú ohraničené zdola a ktoré sú ohraničené:

 a)                                                        b)

 c)                                                        d)

·        Chápať pojem limita postupnosti a intuitívne rozhodnúť, či postupnosť má alebo nemá limitu (využiť geometrickú interpretáciu).

1)      Dosadzovaním veľkých n Î N  určite, ktorá z nasledujúcich postupností  má limitu:

 a) an = n                                        b)

 c)                                      d)

 e) an = 2                                        f) an = (-1)n

2)      Určite limity nasledujúcich postupností:

 a)                   b)              c)                  d)

·        Aktívne ovládať základné vzťahy aritmetickej i geometrickej postupnosti.

1)      Určite, ktorá z daných postupností je aritmetická, resp. geometrická; potom určite jej diferenciu, resp. kvocient:

      a)            b)             c)         d)

2)      V aritmetickej postupnosti :

a)      a1 = 2, an = 32, sn = 187 určite n, d

b)     a1 = 0, d = 3, sn = 165 určite n

3)      Pre členy aritmetickej postupnosti platí:      =10. Nájdite predpis pre jej n - tý člen an.

4)      Číslo 55 rozložte na súčet čísel tak, aby každé nasledujúce číslo bolo o 4 väčšie než predchádzajúce a posledné bolo 19.

5)      V geometrickej postupnosti :

a)      a1 = 2, q = 3, sn = 80, určite n  

b)     a4  = 9 a2, s4  = 80, určite a1 , q

6)      Povrch kvádra je 78 cm2. Súčet jeho rozmerov je 13 cm. Aký veľký je jeho objem, ak rozmery tvoria tri za sebou idúce členy geometrickej postupnosti?

7)      Medzi korene rovnice  vložte dve čísla tak, aby vznikli štyri za sebou idúce členy geometrickej postupnosti. Napíšte ich.

·        Aplikovať poznatky o postupnostiach v praktických úlohách, poznať najmä aplikáciu geometrickej postupnosti v situáciách s pravidelným rastom či poklesom veličín (úrokovanie, pôžičky, splátky, …).  

1)      O koľko korún vzrastie suma 10 000 Sk vložená v peňažnom ústave na 5 rokov pri 8 % ročnom zloženom úrokovaní?

2)      Aký základný vklad treba deponovať v banke, aby po dvadsiatich  rokoch zloženého úrokovania (ročne 4 %) dosiahla výsledná našetrená suma výšku 250 000 Sk alebo prekročila túto sumu maximálne o 1000 Sk.

3)      Za aký čas by sa zdvojnásobila výroba elektrického prúdu, keby sa každoročne výroba zvyšovala o 11 % ročne?

4)      Pri každoročnej inventarizácii strojového zariadenia sa odpisovalo 10 % z účtovnej ceny stroja v danom kalendárnom roku. Akú pôvodnú cenu mal stroj, ktorý po ôsmich rokoch používania má účtovnú hodnotu 21 530,-Sk?

5)      Aký počet obyvateľov možno očakávať v meste s trojpercentným ročným prírastkom o 10 rokov, ak má teraz 50 000 obyvateľov?

6)      Dlh 200 000,-Sk treba amortizovať (umoriť) desiatimi rovnakými celoročnými anuitami pri 3% p. a., platenými vždy na konci úrokovacích období. Vypočítajte anuitu.