3.6. Goniometrické funkcie

OBSAH

Funkčná závislosť, funkcia ako predpis (priradenie), vlastnosti funkcií, zložená funkcia. Goniometrické funkcie ostrého uhla, goniometrické funkcie ľubovoľného uhla (na jednotkovej kružnici). Grafy a základné vlastnosti goniometrických funkcií, ich periodičnosť. Súmernosti na jednotkovej kružnici ako zdroj objavovania ďalších vlastností týchto funkcií, súčtové vzorce. Grafy funkcií typu y = a . f(bx + c) + d .Využitie goniometrických funkcií pri riešení pravouhlého trojuholníka, sínusová a kosínusová veta.

POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI

· Definovať goniometrické funkcie sínus, kosínus, tangens a kotangens, poznať ich definičné obory, obory hodnôt, určiť hodnotu goniometrických funkcií ľubovoľného uhla na jednotkovej kružnici, na grafe a výpočtom s využitím kalkulačky.

1) Vyznačte na jednotkovej kružnici hodnoty sinx, cosx, tgx, cotgx pre .Vyčíslite ich.

2) Veľkosť uhla je - 1 908° 5´8´´. Určite jeho základný uhol.

3) Dokážte, že platí:

a) sin 35˚ = sin 395˚ b) cos 49˚ = cos(-671˚)

c) tg 25˚ = tg205˚ f) cotg(-318˚) = cotg 42˚

4) Určite veľkosť uhla ak: a) cos x = - sin x = - , b) sin y = - cos y = .

5) Rozhodnite, či sú výroky pravdivé:

a) sin 75° > sin60°

b) cos 190°< cos 200°

c) cotg 22° > cotg 44

6) Do ktorého z intervalov patrí x, pre ktoré platí:

a) sin x > 0 a zároveň cos x < 0; b) sin x ≤ 0 a zároveň cos x =0

c) tg x > 0 a zároveň sin x > 0; d) cotg x < 0 a zároveň cos x > 0;

e) sin x < 0 a zároveň cotg x < 0; f) tg x < 0 a zároveň cos x < 0.

7) Určite obor definície funkcie:

a) b)

8) Doplňte tabuľku:

	x
	330°	-30º	420º	-315º	53º	-210º
sin x
cos x
tg x
cotg x

9) Usporiadajte podľa veľkosti čísla: sin 150º, cos 150º, tg 150º, cotg 150º

10) Určite v oblúkovej miere všetky x vyhovujúce rovnici:

a) cos x = y, pre

b) tg x = y, pre

11) Vypočítajte bez kalkulačky: sin 225° - cos 240° + tg 300° - cotg 330°

sin (-600°) – cos ( - 1410°) – tg (-510°) – cotg ( - 405°)

· Poznať graf goniometrickej funkcie tvaru y = a.f(bx + c) + d ,vedieť z grafov vyčítať ich vlastnosti (definičný obor, obor hodnôt, intervaly monotónnosti, extrémy, periódu).

1) V intervale načrtnite grafy funkcií, vypíšte ich vlastnosti :

a) y =sin x b) y = 2.sin x c) y = sin x + 1

d) y = sin 2x e) f) g) y = sin

2) V intervale načrtnite grafy funkcií:

a) - 1 b) + 2 c) y = 2 sin

3) V intervale načrtnite grafy funkcií:

a) b)

Aký je fázový posun prúdu voči napätiu?

· Vedieť používať základné vzťahy :

1) Bez použitia tabuliek i kalkulačky vypočítajte hodnoty ostatných goniometrických funkcií, ak:

a) cos x = - 0,8; ; b) sin x =;

c) cotg x = ; d) tg x = .

2) Bez použitia tabuliek i kalkulačky určite:

a) cos 75º + sin 15° b) sin 105º - cotg 75°

c) sin 2x, ak sin x =0,8 d) cos 2x, ak cos x = -0,5

3) Určite hodnoty goniometrických funkcií sin x, cos x, cotg x, sin 2x, cos 2x ak tg x = - a.

4) Upravte:

a) 1 -

b) (1+).cos c)

· Vedieť použiť goniometrické funkcie pri riešení pravouhlého trojuholníka, sínusovú a kosínusovú vetu pri riešení všeobecného trojuholníka.

1) Pravouhlý trojuholník je určený preponou c=10cm a uhlom = 40°.Vypočítajte jeho odvesny a, b.

2) Kosoštvorec má stranu a = 10 cm a uhol . Vypočítajte jeho obsah.

3) Silu F = 800 N rozložte na dve na seba kolmé zložky, z ktorých jedna zviera so silou F uhol .

4) Trojuholník je určený dvoma stranami a = 12, b = 10 a uhlom . Vypočítajte stranu c a uhly.

5) Strany trojuholníka sú v pomere 2 : 3 : 4. Vypočítajte jeho uhly.

6) Rovnobežník je určený stranami a = 10 cm, b = 6 cm a uhlom nimi zovretým .Vypočítajte obidve uhlopriečky e, f,

7) Určite uhol dvoch síl F₁ = 800 N, F₂ = 500 N, pôsobiacich v jednom bode, keď je ich výslednica

R = 600 N