2.2. Kvadratické rovnice a nerovnice

OBSAH

Rovnica, nerovnica, sústava rovníc,  neznáma, koeficienty, obor rovnice, koreň rovnice, riešenie rovnice (ako postup), množina riešení rovnice, dôsledková a ekvivalentná úprava, skúška správnosti .Kvadratická rovnica, riešenie úpravou na štvorec, vzorec na riešenie kvadratickej rovnice. Počet koreňov a jeho súvis s diskriminantom. Kvadratická nerovnica a jej riešenie.

POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI

·        Efektívne riešiť všetky typy kvadratických rovníc.

1)      Riešte rovnicu:

  a)  x2 - 9 = 0                                            b)  3x2 = x

  c)  4x2 + 64 = 0                                       d)  (3x – 5) . (2x + 3) = 4                                

  e)  (2x - 3)2  - 7 ( 2x – 3) = 8                   f)         

2)      Riešte rovnicu s odmocninou:

  a)  6 x = + 2                                        b)                                    

3)      Obsah kruhu je 9, 42 dm2. Vypočítajte jeho obvod..

4)      V ktorom mnohouholníku je počet uhlopriečok trikrát väčší ako počet strán?

5)      Metódou substitúcie riešte v R rovnice:

a)  x4 - 13x2 + 36 = 0                   b)  x4 - 26 x2 + 25 = 0

c)           

·        Poznať a aplikovať vzťahy medzi koreňmi a koeficientami kvadratickej rovnice.

1)      Určite spamäti druhý koreň kvadratickej rovnice, ak prvý poznáte. Niektoré rovnice majú utajený koeficient:

a)   x2 +  *x + 14 = 0,        x1 = -2

b)  x2 + 6x + * = 0,                       x1 = 4

2)      Nájdite kvadratickú rovnicu, ktorá má korene r, s, ak:

a)   r = 2, s = 5

b)  r = 2 +,  s = 2 -

c)   r = 0, s = - 5

d)  r = 3 s =

e)   r = 1-a; s = 1+a

 

3)      Napíšte kvadratickú rovnicu, ktorej korene x 1, x 2 vyhovujú podmienkam: x1 + x2 = 0,9  a x - x = 0,27

·        Poznať úlohu diskriminantu kvadratickej rovnice.

1)      Určite korene danej rovnice:

a)   x2 - 7x + 12 = 0                                 b)  x2 - 5x - 14 = 0

c)   3x2 - 7x + 7 = 0                                 d)  49x2 - 70x + 25 = 0

e)   x2 - 10x + 28 = 0                               f)  9x2 - 7x + 5 = 0

2)      Pre ktoré  má rovnica   jediné riešenie v množine R?

3)      Určite hodnotu parametra p Î R tak, aby rovnica x2 - px + 9 = 0 mala aspoň jeden reálny koreň.

·        Rozložiť na súčin kvadratický trojčlen.

1)      Upravte kvadratický trojčlen na tvar (X  A)2 – B2:

    a)  x2 + 6x + 5                                          b)  x2 - 10x + 7

    c)  x2 - 8x + 7                                          d)  x2 + 3x - 28                     

    e)  –12 - x + x2                                                     f)  x2 + x - 110

2)      Upravte na súčin:

  a)            

  b)

  c)

3)      Upravte na súčin vypočítaním koreňov kvadratickej rovnice:

  a) x2 - 5x + 6                                           b) 30 + 11x + x2

  c) x2 - 6x - 135                                       d) 3x2 - 41x + 60

  e) x2 + 3x - 70

4)      Riešte rovnice. Najskôr ich upravte:

a)                   b)

c)                       d)

·        Poznať riešenie kvadratickej nerovnice.

1)      Riešte nerovnicu:

  a) x2 - 4  0                                                       b)  < 0

  c) x2 + 9x - 10  0                                             d) x2 - 6x < 0

  e) - x2 - 4x - 3  0                                           f) 9 - x2 < 0

2)      Pre ktoré x má výraz zmysel:

a)     

b)     

3)      Riešte nerovnicu:

 a)  x2 - 7x - 30 < 0                                                         b)  x2 + 12x + 35 ³ 0

 c)  x2 - 15x + 56 = 0                                                        d)  2x2 + 14x > 12

 e)  2x2 + 14x - 16 > 0                                                      f)  x2 + 9x> 10

 g)                                 h)  

·        Správne riešiť jednoduché typy nerovníc v súčinovom a podielovom tvare.

1)      Určite všetky reálne čísla x, pre ktoré dané zlomky nadobúdajú nekladné hodnoty:

  a)                          b)                              c)  

2)      Riešte v R nerovnice:

  a)            b)                          c)  

3)      Určite definičný obor funkcie a) f :              b) f : y =