2. ROVNICE A NEROVNICE

2.1. Lineárne rovnice a nerovnice

OBSAH

Rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc, neznáma, koeficienty, obor rovnice, koreň rovnice, riešenie rovnice (ako postup), množina riešení rovnice, ekvivalentná úprava, skúška správnosti, vyjadrenie neznámej zo vzorcov. Lineárna rovnica, lineárna nerovnica, sústava lineárnych rovníc s  2 a 3 neznámymi, rovnice a nerovnice v  súčinovom a podielovom tvare. Lineárne rovnice a nerovnice s absolútnou hodnotou. Iracionálne rovnice.

POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI

·        Ovládať pojmy neznáma, koeficient, obor rovnice, obor nerovnice, množina všetkých koreňov.

1)      Riešte rovnicu 6x = 9 v množine   a) R,   b) N,   c) Z.   d)

2)      V množine Z riešte rovnicu: a) 3x – 2 = 4,    b) 6x = 0,   c) 0x = 3    d)  = 1 

3)      Nájdite najmenší interval, v ktorom ležia riešenia rovníc: 5;

4)      Rozhodnite, či existuje aspoň jedno prirodzené číslo x, pre ktoré platí:

a)                b)  je celé

5)      Zistite, či rovnice R1 a R2 sú ekvivalentné (t.j. majú tú istú množinu koreňov).

a)      x – 12 = 5 , x + 6 = 23

b)      2,5 x – 2,75 = 3 , 10x - 11=12

6)      Zapíšte v tvare nerovnosti:

a)      číslo x je záporné

b)     číslo y je nekladné

c)      číslo t nie je kladné

d)     číslo – 5,1 nie je menšie než číslo – 5,3;

e)      rýchlosť v auta nie je väčšia než 110 km/hod

f)       teplota t vzduchu v tieni nedosiahla 55°

·        Matematizácia slovnej úlohy vedúcej k rovniciam, nerovniciam a ich sústavám, overiť výsledky a interpretovať ich s ohľadom na pôvodnú úlohu.

V daných slovných úlohách:

1.      Zvoľte neznámu a jej obor.

2.      Pomocou reálnych čísiel a premenných zapíšte výrazy, ktoré vyjadrujú jednotlivé podmienky, obsiahnuté v texte úlohy.

3.      Vyhľadajte výrazy, ktoré vyjadrujú rovnaký údaj, potom

a)      zapíšte rovnosť výrazov (dostanete rovnicu)

b)      porovnajte výrazy (dostanete nerovnicu)

4.      Sformulujte a vyriešte matematickú úlohu, ktorú máte vyriešiť.

5.      Preverte, či riešenie matematickej rovnice (nerovnice) spĺňa podmienky slovnej úlohy.

 


1)      Myslím si číslo. Keď ho vynásobím 4, odčítam 6, vydelím 5 a nakoniec pripočítam 7, dostanem to isté číslo. Aké číslo som si myslel?

2)      Nájdite všetky čísla, pre ktoré platí, že ich druhá mocnina sa rovná ich dvojnásobku.

3)      100 litrov vína stočili do 121 fliaš, z ktorých niektoré sú litrové, iné  sedemdecové. Koľko je ktorých?

4)      Ak zväčším priemernú rýchlosť o 10 km/h, prejdem vzdialenosť 315 km o 2 hodiny skôr. Akou priemernou rýchlosťou idem?

5)      Trojnásobok čísla zväčšený o deväť a dvojnásobok čísla zmenšený o štyri dávajú spolu 90. Určite neznáme číslo.

·        Využiť ekvivalentné úpravy pri riešení lineárnych rovníc a nerovníc s jednou neznámou.

1)      Riešte v obore R rovnice:

a)   3 (3 – x) + 4 (x + 1) = x + 12

b)  3 (x + 2) – 4x = 6 - x

c)  

2)      V N riešte rovnicu:

  a)  x -

3)      Riešte v R :

4)      Pre ktoré čísla d nemá rovnica riešenie?

a)      dx + 1 = 3,

b)      x + 1 = 3 – (d – x)

·        Využiť ekvivalentné úpravy pri vyjadrení neznámej zo vzorca.

1)      Z daných vzťahov vypočítajte neznáme veličiny uvedené v zátvorkách:

  a)   (R1,R2)                         b)       (m1, m2)

   c)  v =      (r)                               d) b =    (R, V)

2)      Z daných vzťahov vyjadrite postupne všetky písmená:

 a) k = m.g                         b) y – a = k (x – b)       c) T =  

3)      Pre kladkostroj platí vzorec: F =  Určite R.

·        Správne postupovať pri riešení rovníc s neznámou v menovateli.

1)      Riešte rovnicu:

  a)                                                   b)

 

  c)                                      d)  

2)      Riešte rovnice a urobte skúšku :

  a)                                                        b)  

 

  c)                                          d)  

 

  e)

·        Riešiť jednoduché typy rovníc s neznámou v odmocnenci.

1)      Riešte rovnicu:

  a)                                             b)

  c)                                      d)

2)      V R riešte rovnicu:

3)      Riešte rovnice a urobte skúšku správnosti riešenia:

a)                             b)

·        Riešiť jednoduché typy rovníc a nerovníc s absolútnou hodnotou.

1)      Riešte rovnice v obore Z:

  a)                                    b)

  c)                                 d)

  e)

2)      Vyriešte v R:

  a)                         b)

  c)

3)      Riešte v množine R nerovnice:

  a)                                  b) 0 <

  c)                                 d) 3

  e)                                f) > 1

       g) > -2                            h)

·        Zapísať riešenie nerovnice pomocou intervalov.

1)      Riešte v množine R nerovnice. Riešenie zapíšte pomocou intervalov.

  a)                                 b)

  c)                      d)

2)      Riešte v množine R nerovnice. Riešenie zapíšte pomocou intervalov.

a) > 0                                   b) > 0

c)                                    d)

3)      V R riešte sústavu nerovníc. Riešenie zapíšte pomocou intervalov:

4)      Pre ktoré záporné reálne čísla x nadobúda výraz  kladné hodnoty?

5)      Nerovnicu 0 riešte: a) v Z b) v      c) v N

 

6)      Znázornite množinu všetkých koreňov nerovnice:

  a) x + 2 ³ 0                                             b) 3 x - y + 2 < 0

  c) 2x - y ³ 0                                            d) 2x - y - 9 < 0

·        Efektívne riešiť sústavu 2 (3) lineárnych rovníc s 2 (3) neznámymi.

1)      Riešte v  sústavu rovníc:

  a)  x - y = -2                                b)  2x + 3y = 1                                   c)  3x - 2y = 2

  x + 2 y =7                                    4x + 6y = 3                                         6x - 4y = 4

2)      Riešte v  sústavu rovníc:

 a)    x + y - z = 6                                     b)   2x + 3 y - z = 4

   x - y + z = 14                                          - x - 2 y + 2z = 13

          - x +  y + z = - 2                                         4x+ 5 y + z = 38

 c)  - x + 2 y +2 z =  2

          3 x –2 y - 6 z = - 2

     x + y - 2z = 1

3)      Zo sústavy troch rovníc s tromi neznámymi poznáme dve rovnice:

             x + 2 y -3 z = 8

          -x - 4 y +6 z = 16

  Hoci tretiu rovnicu nepoznáme, môžeme s istotou tvrdiť, že táto sústava rovníc v R3:

  a) nemá žiadne riešenie?

  b) má práve jedno riešenie?

  c) má nekonečne veľa riešení?

·        Poznať grafické znázornenie sústavy 2 lineárnych rovníc s 2 neznámymi a chápať geometrický význam jej riešenia.

1)      Graficky riešte sústavy rovníc:

  a)   6x - 4 y = 1                                                   b)    x + 3y = 1

   3x - 2y = 2                                                         2x + 6y = 2

  c)   4x - 3y = 1

      -2x +   y = 0

2)      Riešte sústavy rovníc graficky i výpočtom:

  a)  5x - y = 1                                                      b)  2x+ 3y = 7

       2x - y = 2                                                             x - y = 1

  c)  7x +  y = 1                                                          d)  2x – 3y = 8

     14x + 2y = 2                                                              3x – 2y = 7