4. PLANIMETRIA

OBSAH

            Ťažnica, výška, kruž­nica vpísaná a opísaná trojuholníku, ťažisko, priesečník výšok. Základné polohové vzťahy a jednoduché metrické úlohy, uhly v kružnici, stredový, obvodový uhol a vzťahy medzi nimi, Talesova veta.

            Podobnosť trojuholní­kov, vety o podobnosti trojuholníkov, pomer obvodov a obsa­hov podobných trojuholníkov, Euklidove a Pytagorova veta.

            Obsahy rovinných útvarov, štvoruholníkov, obvod a obsah kruhu i jeho častí.

POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI

·        Aktívne ovládať pojmy uhol, veľkosť uhla (v stupňovej i oblúkovej miere), orientovaný uhol.

1)      Vyjadrite uvedené uhly v oblúkovej miere:

a)      30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 225°, 300°, 330°, 360°

b)      55°, 175°, 354°, 470°, 517°

c)      785°, 1460°, -120°, -920°

2)      Vyjadrite uvedené uhly v stupňoch, minútach a sekundách (stupňovej miere):

a)     

b)      0,75rad; 2,4rad; 5,3rad; 9,1rad;- 2,6rad

3)       Určite veľkosť orientovaného uhla, ktorý na kompase zviera so smerom V smer:

  a)  SV                               b)  SSV                                               c)  SZZ

4)      K daným uhlom a = 75°, b = 60°, g = 15° zostrojte graficky uhly:

  a) a + b + g                     b) a + b - g                           c) a - (b - g)

·        Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov ob­vodový a stredový uhol, sformulovať vetu o ich vzťahu.

1)      V kružnici k(S, r) je daná tetiva KL, ktorej dĺžka je menšia ako 2r.

a)      Načrtnite stredový uhol w príslušný ku kratšiemu oblúku KL.

b)      Načrtnite aspoň tri obvodové uhly príslušné k tomuto oblúku.

c)      Ak sa w = 60°,135° určite veľkosti vyznačených obvodových uhlov.

2)      Určite dĺžku polomeru  r,  stredový uhol a, dĺžku l kružnicového oblúka ak nie sú dané:

  a)  r=25mm, a= 54°17´               b)  a= 157°49´, l=28,4cm                  c)  r=23mm, l=33,5mm

  d) a=0,95993rad,l-58mm

3)      Ako sa zmení stredový uhol, ak príslušný obvodový uhol sa:

  a) zmenší trikrát                b) zväčší o 27°            c) zmenší o 52°20¢

  a) 8, 11 a 11, 2                 b) 7, 1 a 1, 4                           c) 7, 8 a 8, 11

·        Interpretovať Talesovu vetu ako dôsledok vety o stredovom a obvodovom uhle.

1)      Zostrojte množinu všetkých bodov, z ktorých je vidieť úsečku KL (½KL½= 3 cm) pod   

      uhlom:

 a)  30°                   b)  45°                        c)  60°                         d) 90°

2)      Daná je kružnica k(S, r) a bod R, ktorý leží zvonka nej. Zostrojte dotyčnicu ku kružnici k, ktorá prechádza bodom R. Riešte úlohu aj keď bod leží na kružnici.

·        Definovať trojuholník, klasifikovať trojuholníky.

1)      Vypočítajte základňu  a  a výšku  v trojuholníka ABC, ak sú v pomere  4: 5  a obsah trojuholníka  ABC je  S = 250.

2)      Vypočítajte obsah  S, polomer r vpísanej a polomer  r  opísanej kružnice rovnoramennému trojuholníku, ktorého základňa je  16  a rameno 10.

3)      Vypočítajte obsah S rovnostranného trojuholníka ABC, ak je dané:

      a)  v = 19cm                b) r = 26cm                c) r = 4cm

4)      Definujte trojuholník a prvky v ňom: strany, vrcholy, uhly, ťažnice, výšky, stredné priečky, osi strán, osi uhlov, stred vpísanej a opísanej    kružnice.

5)      Klasifikujte trojuholníky: a)  podľa dĺžok strán

   b)  podľa veľkosti vnútorných uhlov

6)      Dokážte, že vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu vnútorných uhlov pri zvyšných vrcholoch.

7)      Vyslovte vetu o trojuholníkovej nerovnosti a rozhodnite o možnosti konštrukcie trojuholníka ABC

      a )   a=5cm, b=7cm,c=9cm,                b)  a=4cm,b=8cm, c=10cm

·        Euklidove a Pytagorova veta.

1)      Vyslovte Euklidove a Pytagorovu vetu.

2)      Merací prístroj teodolit, umiestnený na brehu rieky vo výške 50m nad hladinou, zamieril ďalekohľad na okraj náprotivného brehu rieky a zameral odchýlku od zvislého smeru 64026´.Aká široká je rieka v meranom smere?

3)      V akom uhle treba naprojektovať stúpanie schodiska, aby schody boli 35cm široké a 16cm vysoké?

4)      Záhradu tvaru pravouhlého trojuholníka, oplotili pletivom dlhým 364m. Najkratšia strana meria 26m. Vypočítajte rozlohu záhrady.

5)      Vypočítajte dĺžku tetivy v kružnici s polomerom 15 cm, ak tetiva rozdeľuje priemer na ňu kolmý v pomere 1 : 12.

6)      Zostrojte úsečky dĺžky

·        Riešiť úlohy o trojuholníku s využitím vlastnosti osi strán a uhlov, ťažníc, polomerov vpísanej a opísanej kružnice.

1)      V trojuholníku ABC je bod S stred strany  AB. Ak pre dĺžku ťažnice na stranu c a dĺžku úsečky AS  platí: t<, trojuholník ABC podľa rozdelenia uhlov, je aký?

2)      V trojuholníku ABC, ktorého strany majú dĺžky a = 5 cm, b = 6 cm, c = 8 cm, zostrojte:

  a)  ťažisko                                                      b)  priesečník výšok

  c)  kružnicu trojuholníku opísanú a vpísanú                  d)  stredné priečky

3)      Štít strechy tvaru rovnoramenného trojuholníka má šírku 12,8m. Sklon strechy je 38°. Vypočítajte výšku v štíte.

·        Aktívne ovládať pojmy kružnica, kruh, tetiva, oblúk, odsek, výsek, medzikružie.

1)      Vypočítajte polomer kružnice, ktorej dĺžka je o 10cm väčšia ako obvod pravidelného 6-uholníka, ktorý je vpísaný do tejto kružnice.

2)      Nad výškou rovnostranného trojuholníka so stranou  a zostrojte kruh. Vypočítajte obsah    spoločný kruhu i trojuholníku.

3)      Spojte priame železničné trate, ktoré zvierajú uhol 2,006rad, kružnicovým oblúkom s polomerom 1 200m.

a)      Aká bude vzdialenosť stredu oblúka od vrcholu uhla?

b)      Aký veľký bude oblúk l?

c)      Akú veľkú časť nahradil oblúk?

4)      Akú dráhu vykoná za 24 hodín koniec sekundovej ručičky, ak je 5cm dlhá?

5)      Vzdialenosť tetivy od stredu je 6cm, príslušný stredový uhol  a = 60°. Vypočítajte obsah  S kruhového odseku.

6)      Nad výškou rovnostranného trojuholníka so stranou  a zostrojte kruh. Vypočítajte obsah spoločný kruhu i trojuholníku.

·        Klasifikovať štvoruholníky.

1)      Definovať pojmy štvoruholník, rovnobežník (štvorec, kosoštvorec, kosodĺžnik, obdĺžnik), lichobežník, poznať vlastnosti strán, uhlov a uhlopriečok v štvoruholníku.

2)      Záhrada má tvar obdĺžnika a má obvod dĺžky 130m a obsah 800,25m .Vypočítajte rozmery záhrady.

3)      Zostrojte nasledujúce štvoruholníky:

a)      štvorec ABCD, ak½AC½= 5 cm

b)       obdĺžnik ABCD, ak ½AC½= 6 cm, ½AB½= 4 cm

c)       kosodĺžnik ABCD, ak ½AB½= 5 cm, ½BD½= 6 cm, ½AC½= 3 cm

d)      kosoštvorec ABCD, ak ½AB½= 4 cm, ½AC½= 6 cm

e)      lichobežník ABCD, ak ½AB½= 6 cm, ½BC½= 4 cm,½CD½=½AD½= 3 cm

4)      Vypočítajte obvod kosoštvorca, ktorého obsah je 288cm a jedna uhlopriečka u=12,4cm

5)      Ako sa zmení obsah obdĺžnika s rozmermi  a = 90,  b = 60, ak :

a)      zväčšíme rozmer  a obdĺžnika dvakrát a rozmer b trikrát

b)      zmenšíme obidva rozmery o 5%?

6)      Vypočítajte obsah rovnobežníka so stranami  a = 25,3,  b = 13,8, uhol zovretý so stranami a=72°

7)      Obsahy S  a  S dvoch štvorcov sú v pomere  9 : 16. Vypočítajte v akom pomere sú ich obvody.

8)      Vypočítajte výšku  v lichobežníka, ak dĺžky základní sú  a = 28cm, c = 21cm a obsah

S = 1 764cm.

9)      Pozemok má tvar lichobežníka, kde dĺžky rovnobežných strán sú 106m a 72m, ich vzdialenosť je  

46m a veľkosť uhla medzi základňou a jedným ramenom je 57°.Vypočítajte obsah pozemku  

v hektároch a dĺžku plota..