6.2.
Lineárne
útvary
OBSAH
Analytické vyjadrenie úsečky, polpriamky, priamky v rovine i priestore (parametrické vyjadrenie, všeobecný a
smernicový tvar), smerový a normálový vektor
priamky, smernica a smerový uhol priamky. Vzájomná poloha bodu a priamky,
vzájomná poloha dvoch priamok, odchýlka priamok, vzdialenosť bodu od priamky
(v rovine).
Analytické vyjadrenie polroviny, roviny (parametrické vyjadrenie, všeobecný tvar), normálový vektor roviny. Vzájomná poloha bodu a roviny, priamky a roviny, vzájomná poloha dvoch a troch rovín. Odchýlka priamky a roviny, odchýlka dvoch rovín, vzdialenosť bodu od roviny. Kolmica na rovinu.
požiadavky na vedomosti a
zručnosti
·
Vypočítať súradnice stredu
úsečky.
1)
Vypočítajte súradnice
stredu úsečky K,L
ak
a)
K[-4, 3], L[0, -1]
b) K[-2, 4], L[-3, -9]
c) K[1/2, 3/2], L[-3/10, -6/10 ]
d)
K[3, -4, -1], L[-3, 8, -5]
2)
V stredovej
súmernosti je obrazom bodu A[-1/2, 3/5] bod A¢[1,3; -1,6]. Určite súradnice stredu
súmernosti.
3)
Dané sú body A, S. Určite súradnice bodu B tak, aby bod S bol stredom úsečky AB.
a)
A[4, -5], S[-3, 2]
b) A[3, -2, 7], S[-1, 2, 3]
4)
Trojuholník T2 má vrcholy v
stredoch strán trojuholníka T1. Určite súradnice
vrcholov trojuholníka T2, ak trojuholník T1 má vrcholy
[1; 6], [-5; 0], [7; -4].
·
Vypočítať vzdialenosť
dvoch bodov a aplikovať to v konkrétnych situáciách.
1)
Vypočítajte vzdialenosť
bodov A, B, ak je
dané:
a)
A[-4, 2], B[-3, 5]
b) A[-1/2, 2], B[0,1; 1,2]
c) A[1/2, -1, 3], B[2, 1, -3]
2)
Na osi x určite bod tak, aby jeho vzdialenosť
od bodu A[-2, 4] bola
5.
3)
Na osi y nájdite bod tak, aby mal od bodov A[-3, 2], B[2, 1] rovnakú
vzdialenosť.
4)
Dokážte, že
trojuholník s vrcholmi
K
,
L
, M
je
pravouhlý.
·
Vysvetliť pojmy smerový
uhol priamky, smerový a normálový vektor priamky, normálový vektor roviny
a využívať ich vzájomné prepojenie.
1)
Určite smerový a normálový
vektor priamky AB (A[-2, -3], B[-1, 6]).
2)
Určite číslo p tak, aby vektor u bol
a)
smerovým vektorom priamky AB. A[-1, 1], B[2, 3], u ( 1 + p ;
2-p)
b)
normálovým A[2/3, 1], B[-1, -1/3], u (2p-1; 2+p)
3)
Určite smerový uhol
α, a k smernicu priamky AB, ak
a)
A[8, 1], B[6, 5]
b)
A[1, 3], B[-2, 1]
4)
Určite normálový vektor
roviny
α : x + 2y + 3z
- 4 = 0
·
Napísať analytické vyjadrenie priamky danej
dvoma bodmi a využiť predchádzajúce poznatky.
1)
Napíšte parametrické
vyjadrenie, všeobecnú rovnicu a smernicový tvar
priamky, ktorá je určená bodmi A,
B.
a)
A[0; 3], B[5; -2]
b) A[2, -3], B[0, 2]
2)
Napíšte analytické
vyjadrenie všetkých výšok trojuholníka ABC, A
, B
, C
3)
Napíšte parametrické
vyjadrenie, všeobecnú rovnicu a smernicový tvar osi
strán
trojuholníka
ABC, A, B,
C
4)
Napíšte všeobecnú rovnicu
priamky, ktorá je daná smernicou k a q je úsek, ktorý priamka vytína na
osi y.
a)
k = 3, q =
-2
b)
k = -2, q = -5
c)
k = -1/2, q =
4
d)
k = 0, q = 7
5)
Určite smernicu priamky p : y = kx - 1, ak viete, že prechádza
bodom A.
a) A[1, 3] b) A[-2, 1]
·
Vzájomná poloha bodu
a priamky, vzdialenosť bodu od priamky, vzájomná poloha dvoch priamok
uhol, kolmosť, rovnobežnosť.
1)
Rozhodnite, či body
A[-1;7],B[2;1],C[0;5] ležia na jednej priamke?
2)
Zistite, či všetky 3 body
môžu patriť grafu tej istej lineárnej funkcie:
a) A[2, 5], B[0, 0], C[3, -1]
b) D[-2, 5], E[4, 3], F[1, 4]
c) G[4, 9], H[-4, 1], I[6, 11]
3)
Dané sú body A[5, -2], B[1, 6].
a) Napíšte parametrické
vyjadrenie priamky AB.
b) Určite c2 tak, aby bod C[-3, c2] ležal na priamke AB.
c)
Určite súradnice takého
bodu D ležiaceho na polpriamke AB, ktorého vzdialenosť od bodu A je trikrát
väčšia, ako vzdialenosť bodu B od bodu A.
4)
Určite chýbajúcu súradnicu bodu Q tak, aby ležal na priamke AB, pričom A[3, -1], B[1, 3].
a)
Q[x, 4]
b) Q[0, y]
c) Q[2,5; y] d) Q
5)
Rozhodnite, či body A[1, 2], B[-3, -1], C[-1, 2], D[-17, -22] ležia na priamke, ktorá je určená rovnicou 5x - 3y - 6 = 0.
6)
Zistite, či priamka určená
parametrickým vyjadrením
a)
x = 10 - 5t, y = - 3 +1,5t; t Î R
b)
x = - 4 + t, y = 10 - 2,5t; t Î R
prechádza začiatkom sústavy
súradníc.
7)
Zistite vzájomnú polohu
priamok p, q, a ak sú rôznobežné, určite aj
ich priesečník:
a)
p : x = 2 - 3t, y = 6 + t, t Î R
q : x = 1 - 2s, y = 3s, s Î R
b) p : x = 4 - 2t, y = 1 + 3t, z =
- 5 - 3t, t Î
R
q : x = 7 - 7s, y = 2 + 5s, z =
- 8 - 3s, s Î R
8)
Zistite, či priamka daná
parametrickým vyjadrením
x = 6 + 2t, y = -11 - 5t, z = 9 + 3t, t Î R,
pretína niektorú
súradnicovú os.
9)
Napíšte všeobecnú
rovnicu a smernicový tvar priamky, ktorá prechádza bodom A a je kolmá
na priamku BC, ak
je:
a)
A[1, -4], B[3, -7], C[3, 2]
b) A[0, 6], B[0, -2], C[-3, -5]
·
Správne postupovať pri
riešení úloh a interpretovať dosiahnuté znalosti.
1)
Napíšte analytické
vyjadrenie všetkých ťažníc trojuholníka s vrcholmi A[-2, -1], B[3, 0],
C[2, 4]. Určite jeho ťažisko T
2)
Určite hodnotu parametra
c Î R tak, aby priamky p a q boli totožné, rovnobežné
navzájom rôzne.
p : x = 3 - 2t, y = 2 - 5t, t Î R
q : 5x - 2y + c = 0
3)
Napíšte analytické
vyjadrenie priamky, ktorá prechádza bodom A[2;4;] a je rovnobežná s priamkou
BC, pričom B[3;2],C[7;1].
4)
K danej priamke p a bodu Q určite všeobecnú rovnicu priamky r, ktorá je rovnobežná s priamkou p a prechádza bodom Q.
a) p : 3x - y + 1 = 0, Q[3, -1]
b) p : x = 1 + 2t, y = 2 - t, t Î R, Q[3, 4]
5)
Aká je vzájomná
poloha priamky p : 7x + 14y + 8 = 0 a priamky určenou bodmi AB ?
a)
A[2, 2], B[8, -1]
b) A[-2, -6], B[4, -9]
6)
Napíšte rovnice priamok,
na ktorých ležia výšky trojuholníka ABC:
a)
A[5, 2], B[1, 5], C[-2, 1]
b) A[7, 8], B[5, -2], C[-3, -6]
7)
Napíšte všeobecnú rovnicu
priamky, ktorá prechádza bodom A
a je kolmá na priamku BC, ak je:
c)
A[1, -4], B[3, -7], C[3, 2]
d) A[0, 6], B[0, -2], C[-3, -5]
8)
Vypočítajte vzdialenosť
bodu B[3, -7] od priamky danej rovnicou 4x - 3y + 7 = 0.
9)
Daný je trojuholník ABC, A[1, 1], B[3, 2], C[2, 3]. Napíšte rovnicu ťažnice ta a vypočítajte vzdialenosť
bodov B a C od ta .
10)
Určite najkratšiu
vzdialenosť priamok 3x - 4y - 8 =
11)
Určite polomer kružnice so stredom S[1; -2], ktorá sa dotýka priamky
6y - 8x - 30 =
0
12)
Zistite odchýlku
priamok p : x - 3 = 0, q : 
- y + 5 = 0.
13)
Vypočítajte odchýlku
priamok m a n.
m: 3x + 5y + 1 = 0
n: 2x - 8y + 3 = 0