1.3. VÝRAZY

OBSAH

Konštanta, premenná, znaky operácií, výraz, obor definície výrazu, obor premennej, rovnosť výrazov, hodnota výrazu, prepis slovného textu, tvorenie výrazov, výrazy s reálnymi číslami, výrazy s konštantami a premennými.

Mnohočlen, koeficient, člen, stupeň a hodnota mnohočlena, operácie s mnohočlenmi, vynímanie pred zátvorku, rozklad mnohočlena na súčin (koreňový činiteľ ), krátenie výrazu, výrazy s neznámou v menovateli (algebrické) zlomky, výrazy s mocninami, odmocninami. Úpravy výrazov.

POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI

·        Tvoriť výrazy, zapísať slovný text pomocou konštánt, premenných a znakov operácií.

1)      Zapíšte pomocou premenných:

a)      ľubovoľné párne, nepárne číslo

b)      rozdiel druhých mocnín dvoch reálnych čísel sa rovná 1

c)      súčin dvoch po sebe nasledujúcich párnych čísel je deliteľný ôsmimi

d)      štvorec nepárneho čísla zmenšený o 1 je deliteľný dvomi

2)      Dokážte správnosť týchto tvrdení:

a)      Keď k súčtu dvoch čísel a, b pripočítame ich rozdiel, dostaneme dvojnásobok čísla a.

b)      Keď od súčtu dvoch čísel a, b odčítame ich rozdiel, dostaneme dvojnásobok čísla b.

3)      Jedna strana trojuholníka je (a + b), druhá strana je o (a – 2) väčšia a tretia o (b – 3) menšia ako prvá strana. Vypočítajte obvod trojuholníka.

4)      Rozhodnite, ktoré písmená sú v daných výrazoch premenné a ktoré konštanty:

a)      P = p r2  + r s (Vzorec pre povrch rotačného valca)

b)      s = .(dráha voľného pádu)

c)      (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

d)      Bod A leží na kružnici k.

Vymedzte obory všetkých premenných.

5)      Peter odpracoval na stavbe x dní po 8 hodín a y dní po 9 hodín. Koľko hodín odpracoval celkom ? Koľko hodín mu ešte chýba do plánovaných m hodín ?

·        Vyjadriť slovami obsah jednoduchého textu zapísaného matematickou symbolikou.

1)      Vyjadrite slovami:

  a)  ;  a, b Î R                              b)  2;  a, b Î R

  c) ;  a, b Î R                                  d)  2n + (2n + 1);  n Î N

2)      Vyjadrite slovami:

a)   "x Î R; = 2 |x|                       b)  $x Î R; x < 1

·        Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmu mnohočlen, člen, koeficient a stupeň mnohočlena.

1)      Dané sú mnohočleny: P(x) = x3 + 8x2 - 3x + 9, S(x) = 8 - 4x2, T(x) = 2 - 5x + 4x2 .

a)      Určite ich stupeň.

b)     Vymenujte ich členy.

c)      Určite:  kvadratický člen mnohočlena P(x),

lineárny člen mnohočlena S(x),

absolútny člen mnohočlena T(x).

d)     Určite koeficienty lineárnych členov jednotlivých mnohočlenov.

e)      Vypočítajte hodnoty: P(1), S(-1), T(5)

f)     Určite mnohočlen V(x) = 2S(x) . [3P(x) - 5 T(x)]

·         Sčítať, odčítať, násobiť mnohočleny, vydeliť mnohočlen lineárnym dvojčlenom (koreňovým činiteľom).

1)      Sčítajte a urobte skúšku správnosti pre  a = 1,  b = 2,  c = 3:

2)      Vypočítajte:           a) (2x2 - x - 1) : (x - 1)                      b) (4x + 3y) . 5x – 5y . (3x – 2y)

                                   c) (x + 3) . (x + 2)

3)      Upravte na súčin vynímaním pred zátvorku alebo použitím vzorcov:

a) x2 - 3x                          b) 16x2 - 9y                         c) (a + b)2 – (c – d)2

d) 2r2 + 2r s               e)  xy4  - x                               f)  ax – by + bx - ay

g) ac + bc + ad + bd            h)  x y – 5x + 3y – 15 i)  x2 y - 2x y+ y

4)      Dané trojčleny rozložte na súčin lineárnych dvojčlenov:

a)     x2 + 6x - 7                  b)  x2 + 8x +12                       c)  x2 + 2x - 3

d)     x2 + 5x + 6                             e)  x2 - 4x + 3                                       f)  x2 - x - 6

·        Určiť obor definície výrazu a vyčísliť jeho hodnotu pre konkrétne reálne číslo.

1)      Určite hodnotu výrazu   V(t) = pre t  

2)      Vypočítajte rýchlosť zo vzťahu  v = , ak F = 1,8 . 10 N, m = 3,6 . 10kg, t = 450 s.

3)      Vo výraze V (x) =  dosaďte za x   a) 3,   b) -2,   c) a,   d) (1 – a),   e) (5 – 2x)   a vypočítajte alebo upravte.

4)      Daný je výraz    V(x) =  . Určite:      a) obor definície tohto výrazu

b) hodnotu výrazu pre x = 1, x = -2, x = 2

5)      Určite hodnotu výrazu  pre x Î.

·        Definovať mocninu s racionálnym exponentom. Ovládať základné pravidlá počítania s týmito mocninami.

1)      Vypočítajte:  a)      b)     c)       d) ;; ;

       e); ;

2)      Dané výrazy vyjadrite ako mocniny so základom 2 alebo 5 a bez použitia kalkulačky vypočítajte: a)  b)

3)      Zjednodušte výraz:

4)      Vypočítajte: a) ( 2 + ).2. -               b) 5.

5)      Zjednodušte výraz: , x>1

6)      Ak A = 1 – x+ x2, B = 1 + x + x2, C = 1 – x, D = 1 + x ukážte, že platí:.

7)      Upravte: a)        b) ,       c) (5 - 2)

8)      Upravte: a),  b) , c)