1.1. VÝROKY A MNOŽINY

OBSAH

Výrok, pravdivostná hodnota výroku, pravdivý a nepravdivý výrok, hypotéza, jednoduchý a zložený výrok, základné logické spojky (a, alebo, ak - tak, vtedy a len vtedy), negácia výroku. Negácia, obmena a obrátenie implikácie, základné metódy dôkazov (priamy a nepriamy dôkaz). Existenčný a všeobecný kvantifikátor. Množina, prvky množiny, základné spôsoby určovania množín, podmnožina, rovnosť množín, zjednotenie, prienik, doplnok, základné vlastnosti množinových operácií a ich súvis s logickými spojkami a operátormi. Počet prvkov množiny, prázdna a neprázdna množina, konečná a nekonečná množina, Vennove diagramy. Intervaly (otvorený, polouzavretý, uzavretý, neohraničený zľava alebo sprava) a operácie s nimi.

POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI

· Rozoznať, ktoré vety (gramatické) sú výroky, určiť ich pravdivostnú hodnotu.

1) Rozhodnite, ktoré z nasledujúcich viet sú výrokmi. Pri výrokoch určite aj ich pravdivostnú hodnotu.

a) Vypracuj si pozorne domácu úlohu.

b) Bratislava je pekné mesto SR.

c) Otec osôb x, y.

d) x < 5

e) Uhlopriečky kosoštvorca sú navzájom kolmé.

f) Pre každé reálne číslo x platí, že 1 . x = 0

2) Rozhodnite, či platia nasledujúce vety:

a) Uhlopriečky štvoruholníka sa navzájom rozpoľujú.

b) Uhlopriečky každého rovnobežníka sa navzájom rozpoľujú.

c) Zajtra je streda.

d) Každé číslo deliteľné dvoma a štyrmi je deliteľné ôsmimi.

e) Existuje pravouholník, ktorého susedné strany sú zhodné.

f) Každé číslo, ktoré je deliteľné deviatimi, je deliteľné aj tromi.

· Správne chápať význam logických spojok, určiť pravdivostnú hodnotu výrokov.

1) Opíšte situácie, kedy sú nasledujúce tvrdenia pravdivé (resp. nepravdivé):

a) Ak je Peter svedomitý a Juraj nedbalý, cenu získa Peter.

b) Ak bude zajtra pekné počasie, prídem.

c) V lete často prší alebo je pekne.

d) Bratislava je hlavným mestom SR práve vtedy, keď je sídlom centrálnych úradov SR.

e) Juraj mlčí a študuje.

2) Nech p je výrok „Štvoruholník ABCD je rovnobežník“ a q je výrok “Protiľahlé strany štvoruholníka ABCD majú zhodné dĺžky“. Slovami sformulujte nasledujúce výroky napísané pomocou symbolov p´ Ù q¢; p Ú q; q´ Þ p´; pq

· Utvoriť negáciu zloženého výroku.

1) Utvorte negáciu nasledujúcich výrokov:

a) Bude nás tam najmenej päť.

b) Žiadny hlas nebol proti návrhu.

c) Nikto z nás nefajčí.

d) Nejako sa tam dostaneš.

e) Vždy na to pamätám.

f) Neprídu všetci.

g) Prišiel som, videl som, zvíťazil som.

2) Vyjadrite stručne pomocou zložených výrokov negáciu týchto výrokov:

a) Táto úloha má práve dve riešenia.

b) Máme chlieb a pečivo.

c) Najviac jeden žiak má domácu úlohu.

d) Osviežim sa čajom alebo kávou.

e) Ak budem mať na obed bravčové mäso, budem piť pivo.

f) Ak dostanem čerstvé kura, nekúpim mrazené.

· Správne chápať výroky, ktoré obsahujú slová: každý, žiadny, aspoň, práve, najviac

a tvoriť ich negácie.

1) V dielni sú tri stroje, ktorých prevádzka sa upravuje týmito pravidlami: Keď pracuje prvý stroj, pracuje aj druhý. Pracuje druhý alebo tretí stroj alebo oba tieto stroje. Keď nepracuje prvý stroj, nepracuje ani tretí. Aké sú možnosti pre prácu tejto trojice strojov, keď majú byť všetky uvedené podmienky splnené súčasne?

2) Použitím logických spojok opíšte činnosť elektrických obvodov so spínačmi.(Ako by sa to dalo využiť pri realizácii hlasovacieho zariadenia?)

3) Pri stavbe cesty, ktorá má spájať dve mestá, sa rozhodovalo o tom, cez ktoré z obcí A,B,C,D bude prechádzať. Komisia dospela k názoru, že ekonomické a technické dôvody vyžadujú splnenie nasledujúcich podmienok: Cesta bude prechádzať obcou B, ak pôjde obcou A; cez obce A a C bude prechádzať , ak pôjde obcou D. Cesta bude prechádzať aspoň jednou z obcí B a C; cez obce C a D pôjde buď súčasne alebo nepôjde ani jednou z nich. Cez ktoré z týchto obcí, za týchto podmienok, bude nakoniec cesta prechádzať?

4) Zistite, ktoré z nasledujúcich hypotéz sú pravdivé. Nepravdivé hypotézy negujte.

a) Existuje nekonečne veľa prvočísiel p takých, že aj číslo p + 2 je prvočíslo.

b) Pre každé dve reálne čísla a, b platí .

c) Pre každé reálne číslo x platí : .

d) Vo vesmíre existujú iné formy života.

5) Vysvetlite rozdiel vo význame výroku ak vynecháte alebo pozmeníte upresňujúce slová:

„ Vždy aspoň jeden z nás príde najneskôr o šiestej hodine“.

6) Negujte výroky:

a) Všetky rastliny žijú najviac dva roky.

b) Niektoré trojuholníky sú rovnostranné.

c) Aspoň jeden z nás nemá niečo v poriadku.

d) Najviac jeden koreň rovnice (x + 1).(x – 6) = 0 je kladné číslo.

e) Ku každému číslu x je definované jeho prevrátené číslo.

· Použitie kvantifikátorov.

1) Pomocou premennej a kvantifikátora zapíšte:

a) Druhá mocnina každého reálneho čísla je nezáporná.

b) Existuje prirodzené číslo x, ktoré je koreňom rovnice 4 x – 5 = x.

c) Pre každé reálne číslo x platí ( x + 2).( x – 2) < x.

2) Slovami prečítajte zápis. Utvorte jeho negáciu.

3) Vyslovte obmenu, obrátenie a negáciu každej z nasledujúcich viet a určite ich pravdivostnú hodnotu.

a) Ak nemám zvýšenú teplotu, neliečim sa..

b) Pre každé prirodzené číslo n platí: ak je n² párne aj n je párne. (Pri nepriamom dôkaze môžeme použiť negáciu alebo obmenu daného výroku.)

c) Ak má funkcia f v bode a limitu f(a), tak f je v bode a spojitá.

d) Ak má funkcia g v bode a lokálny extrém, tak g¢(a) = 0.

4) Ktosi povedal dva výroky: “Každý študent túži po vedomostiach“ a „Žiaden študent nie je bohatý človek“. Za predpokladu ,že platia tieto dva výroky, platí aj výrok „Niektorí ľudia túžiaci po vedomostiach nie sú bohatí“?

· Zapísať a určiť množinu vymenovaním jej prvkov, charakteristickou vlastnosťou alebo množinovými operáciami.

1) Charakteristickou vlastnosťou určite množinu:

a) A = {2, 3, 5, 7, 11, ...}

b) B = {1, 3, 5, 7, ...}

c) os úsečky AB

2) Zistite, ktoré čísla sú prvkami množiny. Rozhodnite, či je daná množina konečná.

a) A = {x Î Z; êx ê £ 4}

b) B =

c) C =

d) D je množina všetkých trojciferných prirodzených čísel, ktorých ciferný súčet je 5.

3) Daná je množina K = {[x, y] Î R x R; x²+ y²= 5}. Určite:

a) tie prvky tejto množiny, o ktorých platí [x, y] Î N x N

b) aspoň dva prvky, ktoré do tejto množiny nepatria.

· Určiť vzťahy medzi množinami a znázorniť ich pomocou Vennovych diagramov.

₁₎Dané sú množiny A, B, C. Množiny a vzťahy medzi nimi znázornite pomocou Vennovych diagramov. Určite množiny : AB, AC, BC, A – B, B´_A.

A = {1, 2, 3, 4, }, B = {2, 4, 5}, C = {1, 3}

2) Daná je množina M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Zapíšte a graficky znázornite nasledujúce podmnožiny množiny M:

a) podmnožinu A všetkých prvočísiel

b) podmnožinu B všetkých párnych čísel

c) podmnožinu C všetkých násobkov 5

d) podmnožinu D všetkých čísel, ktoré sú deliteľmi čísla 12

3) Použitím Vennovych diagramov ilustrujte platnosť vzťahov:

a) (A È B)¢ = A¢ Ç B¢

b) (A Ç B)¢ = A¢ È B¢

c) (AB)(AB´) = A

d) A(BC) = (AB) C

4) Nech A je množina všetkých párnych čísel, B je množina všetkých nepárnych čísel, ktoré nie sú deliteľné tromi, C je množina všetkých celých čísel deliteľných tromi. Nájdite ABC, AB, AC, BC.

5) Nájdite prienik množín H a K, keď:

a) H je množina všetkých rovnoramenných trojuholníkov, K je množina všetkých pravouhlých trojuholníkov.

b) H je množina všetkých rovnobežníkov s rovnakými uhlopriečkami, K je množina všetkých štvoruholníkov s kolmými uhlopriečkami.

6) Vyšetrovateľ sa obrátil na svojho podriadeného:“ Prečítal som si predloženú správu o autonehode. Píšete, že vinník z miesta nehody ušiel. Podľa popisov svedkov sa podarilo zadržať 26 podozrivých. Z nich 9 vlastnilo červené auto, 14 malo v deň nehody spolujazdca a 8 vodičov malo auto v nespôsobilom technickom stave. Všetky tieto údaje spĺňalo 5 vodičov, aspoň dva údaje 8 vodičov a najviac jeden údaj 12 vodičov, z ktorých 3 vlastnili červené auto. Vaša správa je nepresná, preverte, prosím, všetky údaje ešte raz.

Prečo bol podriadený takto pokarhaný?

· Poznať pojem interval, jeho zápis, ovládať množinové operácie s intervalmi a dokázať ich pohotovo používať.

1) Pomocou intervalov zapíšte množinu:

a) A = {x Î R; x £ 5},

b) B = {x Î R; x ³ 5 Ù x < 11}